Se presenta la prueba de la derivada de la función exponencial \( a^x \), tal que \( a \gt 0 \) y \( a \ne 1 \). También se presenta la derivada de una función compuesta de la forma \( a^{u(x)} \). Se incluyen ejemplos con sus soluciones.
Prueba de la Derivada de \( a^x \)
Sea \( y = a^x \), tal que \( a \gt 0 \) y \( a \ne 1 \)
Tomemos el \( \ln \) de ambos lados de la ecuación \( y = a^x \) para obtener
\( \ln y = \ln a^x \qquad (1) \)
Usamos la propiedad de \( \; \ln \; \) dada por \( \; \ln a^x = x \ln a \; \) en \( (1) \) anterior y escribimos \( \ln y = \ln a^x \) como
\( \ln y = x \ln a\)
Tomemos la derivada, respecto a \( x \), de ambos lados de la ecuación anterior.
\( \dfrac{d}{dx} (\ln y) = \dfrac{d}{dx} ( x \ln a) \qquad (2) \)
Usamos la regla de la cadena para derivadas para escribir el lado izquierdo de \( (2) \) como
\[ \dfrac{d}{dx} (\ln y) = \dfrac{1}{y} \dfrac{dy}{dx} \] y la derivada del lado derecho de \( (2) \) es \[ \dfrac{d}{dx} ( x \ln a) = \ln a\]
Sustituimos los dos resultados anteriores en \( (2) \) para obtener
\( \dfrac{1}{y} \dfrac{dy}{dx} = \ln a \)
Multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por \( y \)
\( y \dfrac{1}{y} \dfrac{dy}{dx} = y \ln a \)
Simplificamos para obtener
\( \dfrac{dy}{dx} = y \; \ln a \)
Sustituimos \( y \) por \( a^x \) para escribir la derivada de \( a^x \) como
\[ \dfrac{d \left(a^x \right)}{dx} = (\ln a) \; a^x \qquad (I) \]
Derivada de la Función Compuesta \( y = a^{u(x)} \)
Ahora consideramos la exponencial compuesta de otra función \( u(x) \). Usamos la regla de la cadena para derivadas para escribir
\( \displaystyle \dfrac{d a^{u(x)}}{dx} = \dfrac{d( a^{u})}{du} \dfrac{du}{dx} \qquad (3) \)
Usamos el resultado anterior en \( (I) \) para escribir \( \dfrac{d( a^{u})}{du} = (\ln a) \; a^u \) y sustituimos en \( (3) \) anterior para obtener la derivada de la función compuesta \( y = a^{u(x)} \) como
\[ \displaystyle \dfrac{d \left(a^{u(x)} \right)}{dx} = (\ln a) \; a^u \; \dfrac{du}{dx} \qquad (II) \]
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las funciones exponenciales compuestas
\( f(x) = 2^{-x^4+5x-4} \)
\( g(x) = 3^{\sqrt{x^4+2x}} \)
\( h(x) = 5^{ \left(\dfrac{2x}{3x+2}\right)} \)
Solución del Ejemplo 1
Tomemos \( u(x) = -x^4+5x-4 \) y por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = -4 x^3 + 5 \)
Aplicamos la regla para la función exponencial compuesta en \( (II) \) anterior
\( \displaystyle \dfrac
{d}{dx} f(x) = ( \ln 2) 2^u \dfrac{du}{dx} = ( \ln 2) \; 2^{-x^4+5x-4} \times (-4 x^3 + 5 ) \)
\( = ( \ln 2) \; (-4 x^3 + 5 ) \; 2^{-x^4+5x-4} \)
Tomemos \( u(x) = \sqrt{x^4+2x} \) y por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} \dfrac{4 x^3 + 2}{\sqrt{x^4+2x}} = \dfrac{2 x^3 + 1}{\sqrt{x^4+2x}} \).
Aplicamos la regla de derivación para la función exponencial compuesta en \( (II) \) anterior
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = (\ln 3) 3^u \dfrac{du}{dx} = (\ln 3) 3^{\sqrt{x^2+1}} \times \dfrac{2 x^3 + 1}{\sqrt{x^4+2x}} \)
\( = ( \ln 3) \dfrac{2 x^3 + 1}{\sqrt{x^4+2x}} \; 3^{\sqrt{x^2+1}} \)
Tomemos \( u(x) = \dfrac {2x}{3x+2} \) y por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{4}{\left(3x+2\right)^2} \)
El uso de la regla de derivación para la función exponencial compuesta obtenida en \( (II) \) anterior da
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = ( \ln 5 ) \; 5^u \; \dfrac{du}{dx} \)
\( = ( \ln 5) \; \dfrac{4}{\left(3x+2\right)^2} \; 5^{\left(\frac{2x}{3x+2}\right)} \)
