Demostración de la Derivada de la Función Exponencial \( a^x \)

Esta lección presenta una demostración completa de la derivada de la función exponencial \( a^x \), donde \( a>0 \) y \( a\neq1 \). También derivamos la fórmula para la función exponencial compuesta \( a^{u(x)} \) usando la regla de la cadena y proporcionamos ejemplos resueltos.

Demostración de la Derivada de \( a^x \)

Sea

\[ y=a^x , \qquad a>0,\; a\neq1 \]

Toma el logaritmo natural de ambos lados:

\[ \ln y=\ln(a^x) \]

Usando la identidad logarítmica \( \ln(a^x)=x\ln a \), obtenemos

\[ \ln y=x\ln a \]

Deriva ambos lados con respecto a \( x \):

\[ \frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{d}{dx}(x\ln a) \]

Aplica la regla de la cadena al lado izquierdo:

\[ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln a \]

Multiplica ambos lados por \( y \):

\[ \frac{dy}{dx}=y\ln a \]

Sustituye \( y=a^x \):

\[ \boxed{\frac{d}{dx}\left(a^x\right)=(\ln a)\,a^x} \]

Derivada de la Función Compuesta \( y=a^{u(x)} \)

Sea \( u=u(x) \). Por la regla de la cadena,

\[ \frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right)=\frac{d(a^u)}{du}\frac{du}{dx} \]

Usando el resultado anterior,

\[ \frac{d(a^u)}{du}=(\ln a)a^u \]

Por lo tanto,

\[ \boxed{\frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right)=(\ln a)\,a^{u(x)}\,\frac{du}{dx}} \]

Ejemplo: Diferenciando Funciones Exponenciales Compuestas

Encuentra las derivadas:

  1. \( f(x)=2^{-x^4+5x-4} \)
  2. \( g(x)=3^{\sqrt{x^4+2x}} \)
  3. \( h(x)=5^{\frac{2x}{3x+2}} \)

Soluciones

  1. Sea \[ u(x)=-x^4+5x-4 \] \[ \frac{du}{dx}=-4x^3+5 \] \[ f'(x)=(\ln2)\,2^{-x^4+5x-4}(-4x^3+5) \]
  2. Sea \[ u(x)=\sqrt{x^4+2x} \] \[ \frac{du}{dx}=\frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \] \[ g'(x)=(\ln3)\,3^{\sqrt{x^4+2x}}\frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \]
  3. Sea \[ u(x)=\frac{2x}{3x+2} \] \[ \frac{du}{dx}=\frac{4}{(3x+2)^2} \] \[ h'(x)=(\ln5)\,5^{\frac{2x}{3x+2}}\frac{4}{(3x+2)^2} \]

Lecturas Adicionales